約分と連分数とユークリッド互除法
連分数展開
まずは以下の動画を紹介します。
サムネイルで十分説明されていますが、改めて説明しますと、これは数検1級の問題「分数を約分せよ」を連分数を使って計算する解説動画です。
与えられた分数を連分数展開することにより、(手間はかかりますが)小さな数の除算の繰り返しで約分を行えることが示されています。面白いですね!
ユークリッドの互除法
この動画内では、連分数とユークリッドの互除法の関係が示されています。ユークリッドの互除法について私の記憶が少し曖昧だったので、以下の記事を参考にしました。互除法の仕組みと応用について詳しく書かれています。
この記事にあるとおり、ユークリッドの互除法で最大公約数を求めれば、その値を用いて最小公倍数を計算することができます。
動画では互除法から最小公倍数へダイレクトに結びつけられていましたが、互除法の知識が十分であれば動画上の説明で問題なく理解できます。
また、動画内では最終的に得た答えが既約分数であることは確認されておらず、またこの手法で必ず既約分数が得られることの厳密な証明はなされていませんが、互除法が最大公約数を求める手法であることを考えれば納得できますね。
連分数展開するプログラムを書いてみたいね
ひとまず面白かったので紹介した次第ですが、近頃は連分数に興味があるので、手がつけられるときにコーディングしたいと思います。数学はたのしいよ!